Bài tập 16, § 4

Cho $X$ là một không gian compact liên thông và cho $A, B$ là hai tập con đóng, rời nhau, không rỗng của $X$. Chứng minh rằng có một thành phần của $C(A \cup B)$ mà bao đóng của nó giao với cả $A$ và $B$. (Cho $U$ là một lân cận của cấu trúc đều của $X$ sao cho $\hat{U}(A) \cap \hat{U}(B) = \varnothing$. Trước hết hãy chứng minh rằng tập hợp $\mathfrak{M}_U$ gồm các thành phần của $C(U(A) \cup U(B))$ giao với cả $U(A)$ và $\overline{U(B)}$ là không rỗng, bằng cách chứng minh rằng với mỗi lân cận đối xứng $W \subset U$ tồn tại $x \in U(A)$ và $y \in U(B)$ và một $W$-chuỗi nối $x$ với $y$ và mọi điểm của nó khác $x$ và $y$ đều thuộc $C(U(A) \cup U(B))$, rồi áp dụng Bài tập 15. Với mỗi lân cận $V \subset U$, hãy chứng minh rằng mọi $K \in \mathfrak{M}_V$ chứa một tập hợp $H \in \mathfrak{M}_U$, và tập hợp $\mathfrak{M}_{U,V}$ gồm các tập hợp $H \in \mathfrak{M}_U$ được chứa trong một tập hợp $K \in \mathfrak{M}_V$ là đóng trong $\mathfrak{F}(X)$; và kết luận rằng khi $V$ chạy qua tập hợp các lân cận được chứa trong $U$, giao của các tập hợp $\mathfrak{M}_{U,V}$ là không rỗng).