Exercice 16, § 4

Soient $X$ un espace compact et connexe, $A$ et $B$ deux parties fermées non vides de $X$, sans point commun. Montrer qu’il existe une composante connexe de $\mathscr{C}(A \cup B)$ ayant des points adhérents dans $A$ et dans $B$. (Soit $U$ un entourage de la structure uniforme de $X$ tel que $\overline{U}(A) \cap \overline{U}(B) = \varnothing$. Montrer d’abord que l’ensemble $\mathscr{M}_U$ des composantes connexes de $\mathscr{C}(U(A) \cup U(B))$ qui rencontrent à la fois $\overline{U}(A)$ et $\overline{U}(B)$ n’est pas vide; pour cela, on prouvera que pour tout entourage symétrique $W \subset U$, il existe $x \in U(A)$ et $y \in U(B)$ et une $W$-chaîne joignant $x$ et $y$ et dont tous les points distincts de $x$ et $y$ appartiennent à $\mathscr{C}(U(A) \cup U(B))$; on appliquera ensuite l’exerc. 15. Pour tout entourage $V \subset U$, montrer que tout ensemble $K \in \mathscr{M}_V$ contient un ensemble $H \in \mathscr{M}_U$, et que l’ensemble $\mathfrak{N}_{U,V}$ des ensembles $H \in \mathscr{M}_U$ qui sont contenus dans un ensemble $K \in \mathscr{M}_V$ est fermé dans $\mathfrak{F}(X)$; en conclure que lorsque $V$ parcourt l’ensemble des entourages contenus dans $U$, l’intersection des ensembles $\mathfrak{N}_{U,V}$ n’est pas vide.)