Bài tập 19, § 4

Một không gian compact liên thông $X$ được gọi là bất khả quy giữa hai điểm $x, y$ của nó nếu không có tập con compact liên thông nào của $X$ khác với chính $X$ chứa cả $x$ và $y$.

a) Nếu $x$ và $y$ là hai điểm phân biệt của một không gian compact liên thông $X$, hãy chỉ ra rằng $X$ có một không gian con compact liên thông $K$ bất khả quy giữa $x$ và $y$ (sử dụng Bài tập 14 và Bổ đề Zorn).

b) Hãy chỉ ra rằng một không gian compact liên thông có ít nhất hai điểm không thể bất khả quy giữa mọi cặp điểm của nó (sử dụng Bài tập 17).

c) Cho $X$ là một không gian compact liên thông, và giả sử rằng có một điểm $a \in X$ có một lân cận đóng liên thông $V \neq X$. Nếu $x$ và $y$ là hai điểm bất kỳ của $C_V$, hãy chỉ ra rằng có một tập con compact liên thông của $X$ chứa $x$ và một trong hai điểm $a, y$ nhưng không chứa điểm kia (sử dụng Bài tập 17). Với cùng các giả thiết đó, hãy chỉ ra rằng nếu $x, y, z$ là ba điểm phân biệt bất kỳ của $X$, thì $X$ không thể đồng thời bất khả quy giữa $x$ và $y$, giữa $y$ và $z$, và giữa $x$ và $z$.