Exercice 19, § 4

On dit qu’un espace compact connexe $X$ est irréductible entre deux de ses points $x, y$ s’il n’existe aucune partie compacte et connexe de $X$, distincte de $X$ et contenant les points $x$ et $y$. a) Si $x, y$ sont deux points distincts d’un espace compact connexe $X$, montrer qu’il existe un sous-espace $K$ de $X$, compact, connexe et irréductible entre $x$ et $y$ (utiliser l’exerc. 14 (II, p. 38) et le th. de Zorn). b) Montrer qu’un espace compact et connexe ayant au moins deux points distincts ne peut être irréductible entre deux quelconques de ses points (utiliser l’exerc. 17). c) Soit $X$ un espace compact connexe; on suppose qu’il existe un point $a \in X$ ayant un voisinage fermé connexe $V$ distinct de $X$. Si $x$ et $y$ sont deux points quelconques de $\mathscr{C}V$, montrer qu’il existe une partie compacte et connexe de X, contenant x et l’un des points a, y, mais non l’autre (utiliser l’exerc. 17). Avec les mêmes hypothèses, montrer que si x, y, z sont trois points distincts quelconques de X, X ne peut être irréductible à la fois entre x et y, entre y et z et entre z et x.