Bài tập 20, § 4

Cho $X$ là một không gian liên thông compact và cho $L$ là tập hợp tất cả các điểm của $X$ có một hệ cơ bản các lân cận liên thông. Các điểm của $S = CL$ được gọi là các điểm kỳ dị của $X$. Các điểm của phần trong $\dot{L}$ của $L$, và các thành phần của $\bar{S}$ được gọi là các thành phần nguyên tố của $X$.

a) Cho $A \neq X$ là một tập con mở không rỗng của $X$, cho $K$ là một thành phần của $\overline{A}$ và cho $F$ là bao đóng của $\overline{A} \cap CK$. Chứng minh rằng nếu $A \cap K \cap F$ không rỗng thì tất cả các điểm của nó đều là kỳ dị. Nếu $x \in A \cap F \cap K$, thành phần $Q$ của $x$ trong $F$ gặp $CA$ [xét một điểm của $CK$ được chứa trong $V(x)$ và thành phần của nó trong $\overline{A}$, và chứng minh bằng cách sử dụng Bài tập 17 rằng tập hợp các điểm của $F$ có thể được nối với $x$ bởi một $V$-dãy trong $F$ gặp $CA$]. Suy ra rằng thành phần nguyên tố $P$ chứa $x$ gặp $CA$ (nhận xét rằng $P$ chứa thành phần của $x$ trong $Q \cap A$, và sử dụng Bài tập 17 áp dụng cho không gian liên thông compact $Q$ và tập con mở $Q \cap A$ của $Q$).

b) Suy ra từ a) rằng nếu $P$ là một thành phần nguyên tố của $X$ và $U$ là một lân cận của $P$, thì $P$ có một lân cận liên thông được chứa trong $U$ (bằng phản chứng).

c) Cho $V$ là một lân cận đối xứng của $X$, và cho $V'$ ký hiệu tập hợp các cặp $(x, y)$ các điểm của $X$ có thể được nối bởi một $V$-dãy, tất cả các điểm của nó đều là kỳ dị, trừ có thể $x$ và $y$. Khi $V$ chạy qua các lân cận đối xứng của X, các tập hợp tương ứng V' tạo thành một hệ cơ bản các lân cận của một cấu trúc đều (nói chung không Hausdorff) trên X. Cho X' là không gian Hausdorff liên kết, và chứng minh rằng các ảnh nghịch đảo của các điểm của X' qua ánh xạ chính tắc X → X' là các thành phần nguyên tố của X. Không gian X' (liên thông compact) được gọi là không gian các thành phần nguyên tố của X. Chứng minh rằng X' là địa phương liên thông [sử dụng b) và Chương I, § 10, no. 4, Mệnh đề 8].

*d) Cho $(r_n)$ là dãy tất cả các số hữu tỉ được chứa trong ]0,1[, được sắp xếp theo một thứ tự nào đó. Với mỗi $x \in [0,1]$ vô tỉ, cho

Cho $X$ là bao đóng trong $\mathbf{R}^2$ của đồ thị của f. Chứng minh rằng $X$ là liên thông và bất khả quy giữa các điểm của nó có hoành độ 0 và 1, nhưng $X$ chỉ có một thành phần nguyên tố.*