Exercice 20, § 4

Soient X un espace compact connexe, L l’ensemble des points de X possédant un système fondamental de voisinages connexes; les points de S = CL sont dits points singuliers de X. Les points de l’intérieur $\hat{L}$ de L et les composantes connexes de $\bar{S}$ sont appelés les constituants premiers de X.

a) Soient A un ensemble ouvert non vide dans X, distinct de X, K une composante connexe de $\overline{A}$, F l’adhérence de $\overline{A} \cap \mathscr{K}$; montrer que si $A \cap K \cap F$ n’est pas vide, tous ses points sont singuliers. Si $x \in A \cap F \cap K$, la composante connexe Q de x dans F rencontre $\mathfrak{G}A$ (en considérant un point de $\mathscr{K}$ contenu dans V(x) et sa composante connexe dans $\overline{A}$, montrer, en utilisant l’exerc. 17, que l’ensemble des points de F pouvant être joints à x par une V-chaîne contenue dans F rencontre $\mathfrak{G}A$). En déduire que le constituant premier P contenant x rencontre $\mathfrak{G}A$ (remarquer que P contient la composante connexe de x dans $Q \cap A$, et utiliser l’exerc. 17, appliqué à l’espace compact connexe Q et à l’ensemble ouvert $Q \cap A$ dans cet espace).

b) Déduire de a) que si P est un constituant premier de X et U un voisinage de P, il existe un voisinage connexe de P contenu dans U (raisonner par l’absurde).

c) Soit V un entourage symétrique de X; on désigne par V’ l’ensemble des couples (x, y) de points de X tels qu’il existe une V-chaîne joignant x et y et dont tous les points, sauf peut-être x et y, soient singuliers. Lorsque V parcourt l’ensemble des entourages symétriques de X, les ensembles V’ correspondants forment un système fondamental d’entourages d’une structure uniforme (en général non séparée) sur X; soit X’ l’espace séparé associé; montrer que les images réciproques des points de X’ par l’application canonique $X \to X'$ sont les constituants premiers de X. L’espace (compact et connexe) X’ est appelé l’espace des constituants premiers de X. Montrer que X’ est localement connexe (utiliser b) et la prop. 8 de I, p. 78).

*d) Soit $(r_n)$ la suite de tous les nombres rationnels contenus dans ]0, 1[, rangés dans un certain ordre. Pour tout x irrationnel dans [0, 1], soit

Soit X l’adhérence dans $\mathbf{R}^2$ du graphe de f. Montrer que X est connexe et irréductible entre les points d’abscisses 0 et 1, mais n’a qu’un seul constituant premier.*