Bài tập 23, § 4

Cho f : X → Y là một ánh xạ mở liên tục, X địa phương compact và Y Hausdorff.

a) Nếu K là một tập con compact liên thông bất kỳ của Y và C là một thành phần compact bất kỳ của $\overline{f}(K)$, hãy chứng minh rằng $f(C) = K$ (rút gọn về trường hợp K = Y và dùng Hệ quả của Mệnh đề 6 của no. 4). Hãy cho một ví dụ về một thành phần không compact C' của $\overline{f}(K)$ sao cho $f(C') \neq K$.

b) Giả sử thêm rằng Y địa phương compact và địa phương liên thông. Hãy chứng minh rằng nếu U là một tập con mở liên thông bất kỳ của Y và R là một thành phần tương đối compact bất kỳ của $\overline{f}(U)$ trong X, thì $f(R) = U$. [Nhận xét rằng trong một không gian địa phương compact địa phương liên thông, một tập mở liên thông U là hợp của các tập compact liên thông được chứa trong U và chứa một điểm đã cho $y_0 \in U$; sau đó áp dụng a).]

c) Giả sử thêm rằng X địa phương liên thông. Hãy chứng minh rằng nếu K là một tập con liên thông bất kỳ của Y mà hoặc là mở hoặc là compact với phần trong không rỗng, và nếu H là một tập con compact bất kỳ của X, thì chỉ có một số hữu hạn thành phần của $\overline{f}(K)$ được chứa trong H. [Dùng a) và b)].