Exercice 23, § 4

Soient X et Y deux espaces localement compacts, $f : X \to Y$ une application continue ouverte surjective.

a) Pour toute partie compacte et connexe K de Y, et toute composante connexe compacte C de $f^{-1}(K)$, montrer que $f(C) = K$ (se ramener au cas où K = Y et utiliser le corollaire de II, p. 32). Donner un exemple d’une composante connexe non compacte C’ de $f^{-1}(K)$ telle que $f(C') \neq K$.

b) On suppose en outre Y localement connexe. Pour tout ensemble ouvert connexe U dans Y et toute composante connexe relativement compacte (dans X) R de $f(U)$, montrer que $f(R) = U$. (Observer que dans un espace localement compact et localement connexe, un ensemble ouvert connexe $U$ est réunion des parties compactes connexes contenues dans $U$ et contenant un point donné $y_0 \in U$; appliquer alors $a$).

c) On suppose en outre $X$ localement connexe. Montrer que pour toute partie connexe $K$ de $Y$ qui est ouverte, ou compacte avec un intérieur non vide, et pour toute partie compacte $H$ de $X$, il n’existe qu’un nombre fini de composantes connexes de $f^{-1}(K)$ contenues dans $H$. (Utiliser $a$ et $b$).