Bài tập 7, § 4

Một tập con $A$ của một không gian đều $X$ được gọi là bị chặn nếu với mỗi lân cận đều $V$ của $X$ tồn tại một tập hợp hữu hạn $F$ và một số nguyên $n > 0$ sao cho $A \subset^n V(F)$.

a) Hợp của hai tập con bị chặn là bị chặn. Bao đóng của một tập con bị chặn là bị chặn. Mọi tập con tiền compact đều là bị chặn.

b) Nếu $f : X \to Y$ là liên tục đều, thì ảnh qua $f$ của mọi tập con bị chặn của $X$ là một tập con bị chặn của $Y$.

c) Trong một tích của các không gian đều không rỗng, một tập hợp là bị chặn khi và chỉ khi mỗi phép chiếu của nó là bị chặn.

d) Với mỗi lân cận đều đối xứng $V$ của $X$, ký hiệu $R_V$ là hợp của các tập hợp $V^n$ khi $n$ chạy qua các số nguyên $> 0$. Chứng minh rằng $R_V$ vừa mở vừa đóng trong $X \times X$ và rằng, theo ký hiệu của no. 4,

với mỗi $x \in X$. Giả sử rằng $R_V = X \times X$ với mỗi lân cận đều đối xứng $V$ của $X$ (điều này sẽ xảy ra, đặc biệt, nếu $X$ liên thông); chứng minh rằng một tập hợp $A \subset X$ là bị chặn khi và chỉ khi, với mỗi lân cận đều đối xứng $V$ của $X$ và mỗi $x_0 \in X$, tồn tại một số nguyên $n > 0$ sao cho $A \subset^n V(x_0)$.