Exercice 7, § 4

Dans un espace uniforme $X$, on dit qu’un ensemble $A$ est borné si, pour tout entourage $V$ de $X$, il existe un ensemble fini $F$ et un entier $n > 0$ tels que $A \subset \overset{n}{\vee}(F)$. a) La réunion de deux parties bornées est bornée. L’adhérence d’un ensemble borné est un ensemble borné. Tout ensemble précompact est borné. b) Si $f : X \to Y$ est uniformément continue, l’image par $f$ de toute partie bornée de $X$ est une partie bornée de $Y$. c) Dans un produit d’espaces uniformes non vides, pour qu’un ensemble soit borné, il faut et il suffit que chacune de ses projections le soit. d) Pour tout entourage symétrique $V$ de $X$, soit $R_V$ la réunion des ensembles $\overset{n}{\vee}$ pour toutes les valeurs de l’entier $n > 0$; montrer que $R_V$ est à la fois ouvert et fermé dans $X \times X$ et que, pour tout $x \in X$, on a $R_V(x) = A_{x, V}$ (notation de II, p. 31). On suppose que pour tout entourage symétrique $V$ de $X$, on ait $R_V = X \times X$ (ce qui a lieu en particulier si $X$ est connexe); montrer que pour qu’un ensemble $A \subset X$ soit borné, il faut et il suffit que pour tout entourage symétrique $V$ de $X$, et tout $x_0 \in X$, il existe un entier $n > 0$ tel que $A \subset \overset{n}{\vee}(x_0)$.