Bài tập 7, § 5

Cho $(x_{mn})$ là một dãy kép các điểm của một nhóm giao hoán Hausdorff $G$, thỏa mãn các điều kiện sau: (a) Chuỗi xác định bởi dãy $(x_{mn})_{n \in \mathbf{N}}$ hội tụ với mỗi $m \geq 0$; gọi $y_m$ là tổng của nó. (b) Nếu đặt $r_{mn} = \sum_{p=n}^{\infty} x_{mp}$, thì chuỗi xác định bởi dãy $(r_{mn})_{m \in \mathbf{N}}$ hội tụ với mỗi $n \geq 0$; gọi $t_n$ là tổng của nó.

Chứng minh rằng với mỗi $n \geq 0$ chuỗi xác định bởi dãy $(x_{mn})_{m \in \mathbf{N}}$ hội tụ, và gọi $z_n$ là tổng của nó. Chuỗi mà số hạng tổng quát là $y_m$ có cùng tổng với chuỗi mà số hạng tổng quát là $z_n$ khi và chỉ khi $t_n$ tiến tới $0$ khi $n$ tiến tới vô hạn.