Bài tập 5, § 7

Cho $G$ là một nhóm tôpô Hausdorff và cho $X$ là một không gian tôpô Hausdorff trên đó $G$ tác động liên tục; cho $(H_\alpha)$ là một họ các nhóm con chuẩn compact của $G$, có hướng đối với quan hệ $\supseteq$, và thỏa mãn điều kiện (AP) của no. 3. Ký hiệu $X_\alpha$ là $X/H_\alpha$. Chứng minh rằng ánh xạ chính tắc $X \to \varprojlim X_\alpha$ là một đồng phôi.

§ \* 6) Cho $(G_n, f_{nm})_{n \in \mathbf{N}}$ là hệ ngược của các nhóm compact sao cho $G_n = T = \mathbf{R}/\mathbf{Z}$ với mỗi $n$, và $f_{nm}$ là đồng cấu liên tục $x \to p^{m-n}x$ của $T$ lên chính nó, với $n \leq m$ ($p$ là một số nguyên tố cho trước). Nhóm tôpô $T_p = \varprojlim G_n$ được gọi là solenoid $p$-adic; nó là một nhóm tôpô compact liên thông giao hoán.

a) Với mỗi $n$, đồng cấu liên tục $f_n : T_p \to G_n$ là toàn ánh, và hạt nhân của nó đẳng cấu với nhóm $\mathbf{Z}_p$ các số nguyên $p$-adic [xem Bài tập 1 a)].

b) Cho $\varphi$ là đồng cấu chính tắc $\mathbf{R} \to \mathbf{R}/\mathbf{Z} = \mathbf{T}$. Với mỗi $x \in \mathbf{R}$, đặt $\theta(x) = (\varphi(x/p^n))_{n \in \mathbf{N}}$; chứng minh rằng $\theta$ là một đồng cấu liên tục đơn ánh của $\mathbf{R}$ vào $\mathbf{T}_p$, và rằng $\theta(\mathbf{R})$ là một nhóm con trù mật của $\mathbf{T}_p$.

c) Cho $I$ là một khoảng mở trong $\mathbf{R}$, có tâm $0$ và độ dài $< 1$. Chứng minh rằng không gian con $f_0^{-1}(\varphi(I))$ của $\mathbf{T}_p$ là đồng phôi với tích $I \times \mathbf{Z}_p$. Đặc biệt, nhóm $\mathbf{T}_p$ không liên thông địa phương.

d) Chứng minh rằng mọi nhóm con đóng $H$ của $\mathbf{T}_p$, khác $\mathbf{T}_p$ hoặc $\{0\}$, đều rời rạc toàn phần và đẳng cấu với một nhóm có dạng $\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}$ hoặc $(\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}) \times \mathbf{Z}_p$, trong đó $n$ là một số nguyên nguyên tố cùng nhau với $p$ (sử dụng Mệnh đề 3 của no. 3).

e) Chứng minh rằng $\mathbf{T}_p$ là một không gian compact liên thông không phân tích được, nghĩa là $\mathbf{T}_p$ không thể được phủ bởi hai tập hợp compact liên thông $P, Q$ mà không tập nào trong hai tập đó bằng $\mathbf{T}_p$. (Nhận xét rằng có một số nguyên $n$ sao cho $f_n(P) \neq G_n$ và $f_n(Q) \neq G_n$, và xét các tập hợp $f_{n+1}(P)$ và $f_{n+1}(Q)$ để thu được một mâu thuẫn). \*