Bài tập 14, § 2

Cho $X$ là một không gian tôpô Hausdorff liên thông không gồm một điểm duy nhất, và ký hiệu $\Delta$ là đường chéo của $X \times X$.

a) Chứng minh rằng không có phân hoạch của $C\Delta$ thành hai tập mở $D_1, D_2$ sao cho $D_1^{-1} = D_1$ và $D_2^{-1} = D_2$. [Bắt đầu bằng cách nhận xét rằng $D_1(x)$ và $D_2(x)$ là liên thông với mỗi $x \in X$ (sử dụng Bài tập 4 a) của Chương I, § 11); suy ra rằng, nếu $y \in D_1(x)$, ta có $D_2(x) \times \{y\} \subset D_1$, và chứng minh rằng điều này kéo theo rằng, với mỗi $x \in X$, một trong hai tập $D_1(x)$, $D_2(x)$ là rỗng; từ đó chứng minh rằng một trong hai tập $D_1, D_2$ là rỗng, điều này trái với giả thiết.] Suy ra rằng hoặc $C\Delta$ là liên thông hoặc $C\Delta$ có đúng hai thành phần $A, B$ sao cho $B = A^{-1}$.

b) Một quan hệ thứ tự tuyến tính trên $X$ được gọi là tương thích với tôpô $\mathfrak{T}$ của $X$ nếu $\mathfrak{T}_0(X)$ thô hơn $\mathfrak{T}$. Suy ra từ a) rằng tồn tại một quan hệ thứ tự tuyến tính như vậy trên $X$ khi và chỉ khi $C\Delta$ không liên thông, và khi đó có đúng hai quan hệ thứ tự tuyến tính như vậy. [Với ký hiệu của a), chứng minh rằng quan hệ thứ tự phải là hoặc $(x, y) \in A$ hoặc $(x, y) \in B = A^{-1}$.] Chứng minh rằng các khoảng, đối với các quan hệ thứ tự này, là liên thông trong tôpô $\mathfrak{T}$, và chúng là các tập con liên thông duy nhất của $X$ đối với $\mathfrak{T}$.

c) Chứng minh rằng nếu $X$ hoặc là liên thông địa phương hoặc là compact địa phương trong tôpô $\mathfrak{T}$, và nếu tồn tại một quan hệ thứ tự tuyến tính trên $X$ tương thích với $\mathfrak{T}$, thì ta phải có $\mathfrak{T} = \mathfrak{T}_0(X)$. [Nếu $X$ liên thông địa phương, sử dụng b). Nếu $X$ compact địa phương, chứng minh rằng mọi lân cận compact của một điểm $x \in X$ cũng là một lân cận của $x$ đối với $\mathfrak{T}_0(X)$, bằng cách xét biên của lân cận].

d) Cho $X$ là không gian con của $\mathbf{R}^2$ gồm $(0, 0)$ và tất cả các cặp $(x, y)$ sao cho $x > 0$ và $y = \sin(1/x)$. Chứng minh rằng tồn tại một quan hệ thứ tự tuyến tính trên $X$ tương thích với tôpô cảm sinh trên $X$ bởi tôpô của $\mathbf{R}^2$, nhưng tôpô này thực sự mịn hơn $\mathfrak{T}_0(X)$. \ Cho một ví dụ về một không gian Hausdorff liên thông $X$, không một điểm nào của nó có một hệ cơ bản gồm các lân cận liên thông, và trên đó có một quan hệ thứ tự tuyến tính tương thích với tôpô của $X$ [xem Chương I, § 11, Bài tập 2 b)].