Exercice 14, § 2

Soient $E$ un espace topologique séparé et connexe non réduit à un point, $\Delta$ la diagonale dans $E \times E$.

a) Montrer qu’il ne peut exister de partition de $\mathfrak{G}\Delta$ formée de deux ensembles ouverts $D_1, D_2$ tels que $\overline{D_1} = D_1$ et $\overline{D_2} = D_2$. (Remarquer d’abord, en utilisant l’exerc. 4 a) de I, p. 114, que pour tout $x \in E$, $\overline{D_1(x)}$ et $\overline{D_2(x)}$ sont connexes; en déduire que, si $y \in D_1(x)$, on a $D_2(x) \times \{y\} \subset D_1$, et montrer que cela entraîne que, pour tout $x \in E$, un des deux ensembles $D_1(x), D_2(x)$ est vide; conclure que l’un des ensembles $D_1, D_2$ est vide, contrairement à l’hypothèse.) En déduire que, ou bien $\mathfrak{G}\Delta$ est connexe, ou bien $\mathfrak{G}\Delta$ a exactement deux composantes connexes $A, B$ telles que $B = \overline{A}$.

b) On dit qu’une structure d’ordre total sur $E$ est compatible avec la topologie $\mathscr{T}$ de $E$ si $\mathscr{T}_0(E)$ (I, p. 91, exerc. 5) est moins fine que $\mathscr{T}$. Déduire de a) que, pour qu’il existe sur $E$ une telle structure d’ordre total, il faut et il suffit que $\mathfrak{G}\Delta$ soit non connexe; il y a alors exactement deux telles structures d’ordre (avec les notations de a), montrer que la relation d’ordre est nécessairement $(x, y) \in A$ ou $(x, y) \in B = \overline{A}$. Montrer que les intervalles pour ces structures d’ordre sont connexes pour $\mathscr{T}$, et que ce sont les seules parties connexes de $E$ pour $\mathscr{T}$.

c) Montrer que si $E$ est localement connexe ou localement compact pour $\mathscr{T}$, et s’il existe sur $E$ une structure d’ordre total compatible avec $\mathscr{T}$, on a nécessairement $\mathscr{T} = \mathscr{T}_0(E)$. (Lorsque $E$ est localement connexe, utiliser b). Lorsque $E$ est localement compact, montrer que tout voisinage compact d’un point $x$ de $E$ pour $\mathscr{T}$ est aussi un voisinage de $x$ pour $\mathscr{T}_0(E)$, en considérant la frontière de ce voisinage.)

d) Soit $E$ le sous-espace de $\mathbf{R}^2$ formé du point $(0, 0)$ et de l’ensemble des couples $(x, y)$ tels que $x > 0, y = \sin(1/x)$; montrer qu’il y a sur $E$ une structure d’ordre total compatible avec la topologie induite par celle de $\mathbf{R}^2$, mais que cette topologie est strictement plus fine que celle de $E$*

Donner un exemple d’espace séparé connexe $E$ dont aucun point n’admet de système fondamental de voisinages connexes, et sur lequel il y a une structure d’ordre total compatible avec la topologie de $E$ (cf. I, p. 114, exerc. 2 b)).