Bài tập 16, § 2

Cho $X$ là một không gian Hausdorff liên thông hoàn toàn bất khả quy giữa hai điểm phân biệt $a$ và $b$, nghĩa là không có tập con liên thông nào của $X$ khác chính $X$ chứa đồng thời $a$ và $b$. Chứng minh rằng $X' = C\{a, b\}$ là liên thông và rằng, với mỗi $x \in X'$, phần bù của $x$ trong $X$ có đúng hai thành phần $A(x)$ và $B(x)$ sao cho $a \in A(x), b \in B(x), a \notin B(x), b \notin A(x)$. [Chứng minh rằng $C\{x\}$ không thể phân hoạch thành ba tập mở khác rỗng, bằng cách sử dụng Bài tập 4 a) của Chương I, § 11.] Suy ra rằng tồn tại một thứ tự tuyến tính trên $X$ tương thích với tôpô của $X$ (sử dụng Bài tập 15).

a) Chứng minh rằng, với mọi điểm $x \in X$, $C\{x\}$ có nhiều nhất hai thành phần (cùng phương pháp như trong Bài tập 16).

b) Chứng minh rằng có nhiều nhất hai điểm của $X$ mà phần bù của chúng là liên thông. Hơn nữa, nếu có hai điểm phân biệt $a, b$ có tính chất này, chứng minh rằng, với mỗi $x$ khác $a$ hoặc $b$, $a$ và $b$ thuộc các thành phần khác nhau của $C\{x\}$.

c) Suy ra từ a) và b) rằng tồn tại một thứ tự tuyến tính trên $X$ tương thích với tôpô của $X$ (sử dụng Bài tập 15).

¶ 18) a) Cho $X$ là một không gian compact, liên thông, liên thông địa phương bất khả quy giữa hai trong các điểm của nó $a, b$ (Chương II, § 4, Bài tập 19). Cho $x$ là một điểm của $X$ khác $a$ hoặc $b$. Chứng minh rằng $C\{x\}$ có đúng hai thành phần và rằng $a$ và $b$ thuộc các thành phần khác nhau của $C\{x\}$. [Lập luận như trong Bài tập 16, trước hết chứng minh rằng $C\{x\}$ không thể có nhiều hơn hai thành phần. Tiếp theo, nếu $V$ là một lân cận đóng liên thông bất kỳ của $x$ không chứa $a$ cũng không chứa $b$, gọi $A_V, B_V$ lần lượt là các thành phần của $a, b$ trong $C_V$; chứng minh rằng $A_V \neq B_V$ bằng cách sử dụng Bài tập 17 của Chương II, § 4; cuối cùng xét hợp của các tập hợp $A_V$ (tương ứng $B_V$) khi $V$ chạy qua tập hợp tất cả các lân cận đóng liên thông của $x$ trong $X$.] Suy ra rằng tồn tại một thứ tự tuyến tính trên $X$ sao cho $\mathfrak{T}_0(X)$ là tôpô đã cho trên $X$ [Các Bài tập 15 và 14 c)].

b) Cho $X$ là một không gian compact liên thông bất khả quy giữa hai điểm của nó $a, b$. Chứng minh rằng nếu $X$ có nhiều hơn một thành phần nguyên tố (Chương II, § 4, Bài tập 20) thì không gian $X'$ các thành phần nguyên tố của $X$ (\emph{loc. cit.}) là bất khả quy giữa các thành phần nguyên tố của $a$ và $b$, và rằng có một thứ tự tuyến tính trên $X'$ sao cho tôpô của $X'$ đồng nhất với $\mathfrak{T}_0(X')$. \* Cho một ví dụ trong đó $X'$ phân biệt với $X$ [xem Bài tập 15 d)]. \*

¶ 19) a) Cho $X$ là một không gian Hausdorff liên thông và cho $a, b$ là hai điểm phân biệt của $X$ sao cho không có tập con liên thông đóng nào của $X$, ngoài chính $X$, chứa đồng thời $a$ và $b$. Nếu $x$ là một điểm của $X$ khác $a$ hoặc $b$, thì $C\{x\}$ không liên thông khi và chỉ khi, với mỗi $y \in C\{x\}$, có trong $C\{y\}$ một tập con liên thông đóng trong $X$ và chứa $x$ cùng một trong các điểm $a, b$. [Để chứng minh điều kiện là cần, dùng Bài tập 4 a) của Chương I, § 11; để chứng minh nó là đủ, cho $A$ (tương ứng $B$) là tập hợp tất cả các $y \in X$ sao cho có một tập con liên thông của $C\{y\}$ đóng trong $X$ và chứa $a$ và $x$ (tương ứng $b$ và $x$); chứng minh rằng $A$ và $B$ là khác rỗng và mở và rời nhau, và rằng $C\{x\} = A \cup B$.

b) Cho $X$ là một không gian compact liên thông bất khả quy giữa hai điểm của nó $a, b$ (Chương II, § 4, Bài tập 19). Chứng minh rằng nếu với mỗi cặp điểm phân biệt $x, y$ của $X$ có một tập hợp compact liên thông trong $X$ chứa $y$ và một trong $a, b$ nhưng không chứa $x$, thì có một thứ tự tuyến tính trên $X$ sao cho $\mathfrak{T}_0(X)$ là tôpô đã cho trên $X$ (các Bài tập 15 và 16).

20) Trong phép dựng của Bài tập 23 của Chương I, § 9, lấy $X_0$ là khoảng $[0, 1]$ của $\mathbf{R}$. Chứng minh rằng các phép đồng phôi của $X$ lên chính nó cũng chính là các phép đồng phôi của $X_0$ lên chính nó, mặc dù tôpô của $X$ mịn hơn nghiêm ngặt so với tôpô của $X_0$ [dùng Bài tập 20 b) của Chương I, § 8].

21) Chứng minh rằng nếu $r > 2$ thì không có nhóm bắc cầu $r$-lần các phép đồng phôi của $\mathbf{R}$ lên chính nó (xét nhóm con giữ cố định hai điểm của $\mathbf{R}$).