Exercice 16, § 2

Soit E un espace séparé connexe, complètement irréductible entre deux points distincts $a, b$, c’est-à-dire tel qu’il n’existe aucune partie connexe de E, distincte de E et contenant $a$ et $b$. Montrer que $E' = C\{a, b\}$ est connexe et que, pour tout $x \in E'$, le complémentaire de $x$ dans E a exactement deux composantes connexes $A(x)$ et $B(x)$ telles que $a \in A(x)$, $b \in B(x)$, $a \notin B(x)$, $b \notin A(x)$. (En utilisant I, p. 114, exerc. 4 a), montrer que $C\{x\}$ ne peut admettre une partition en trois ensembles ouverts non vides.) En déduire qu’il y a sur E une structure d’ordre total compatible avec la topologie de E (utiliser l’exerc. 15).