Bài tập 17, § 2

Cho $X$ là một không gian Hausdorff liên thông sao cho bất cứ khi nào $X$ được phủ bởi ba tập hợp liên thông không rỗng phân biệt với $X$, có hai trong số các tập hợp này mà hợp của chúng phân biệt với $X$

a) Chứng minh rằng, với mọi điểm $x \in X$, $C\{x\}$ có nhiều nhất hai thành phần (cùng phương pháp như trong Bài tập 16).

b) Chứng minh rằng có nhiều nhất hai điểm của $X$ mà các phần bù của chúng là liên thông. Hơn nữa, nếu có hai điểm phân biệt $a, b$ với tính chất này, chứng minh rằng, với mỗi $x$ khác $a$ hoặc $b$, $a$ và $b$ thuộc các thành phần khác nhau của $C\{x\}$.

c) Suy ra từ a) và b) rằng có một thứ tự tuyến tính trên $X$ tương thích với tôpô của $X$ (dùng Bài tập 15).