Exercice 17, § 2

Soit E un espace séparé connexe, tel que pour tout recouvrement de E formé de trois ensembles connexes non vides et distincts de E, il y ait deux de ces ensembles dont la réunion est différente de E.

a) Montrer que pour tout $x \in E$, $C\{x\}$ a au plus deux composantes connexes (même méthode que dans l’exerc. 16).

b) Montrer qu’il y a au plus deux points de E dont le complémentaire est connexe. En outre, s’il y a deux points distincts $a, b$ ayant cette propriété, montrer que pour tout $x$ distinct de $a$ et de $b$, $a$ et $b$ appartiennent à des composantes connexes différentes de $C\{x\}$.

c) Déduire de a) et b) qu’il y a sur E une structure d’ordre total compatible avec la topologie de E (utiliser l’exerc. 15).