Bài tập 18, § 2

a) Cho $X$ là một không gian compact, liên thông, liên thông địa phương và bất khả quy giữa hai điểm $a, b$ của nó (chương II, § 4, bài tập 19). Cho $x$ là một điểm của $X$ khác $a$ và $b$. Chứng minh rằng $C\{x\}$ có đúng hai thành phần và $a$ và $b$ thuộc hai thành phần khác nhau của $C\{x\}$. [Lập luận như trong bài tập 16, trước hết hãy chứng minh rằng $C\{x\}$ không thể có quá hai thành phần. Tiếp theo, nếu $V$ là một lân cận đóng, liên thông bất kỳ của $x$ không chứa $a$ cũng không chứa $b$, gọi $A_V, B_V$ lần lượt là các thành phần của $a, b$ trong $C_V$; hãy chứng minh rằng $A_V \neq B_V$ bằng cách sử dụng bài tập 17 của chương II, § 4; cuối cùng xét hợp của các tập hợp $A_V$ (resp. $B_V$) khi $V$ chạy qua tập hợp tất cả các lân cận đóng, liên thông của $x$ trong $X$.] Suy ra rằng tồn tại một thứ tự tuyến tính trên $X$ sao cho $\mathfrak{T}_0(X)$ là tôpô đã cho trên $X$ [các bài tập 15 và 14 c)].

b) Cho $X$ là một không gian compact, liên thông và bất khả quy giữa hai điểm $a, b$ của nó. Chứng minh rằng nếu $X$ có nhiều hơn một thành phần nguyên tố (chương II, § 4, bài tập 20) thì không gian $X'$ của các thành phần nguyên tố của $X$ (\emph{loc. cit.}) là bất khả quy giữa các thành phần nguyên tố của $a$ và $b$, và tồn tại một thứ tự tuyến tính trên $X'$ sao cho tôpô của $X'$ đồng nhất với $\mathfrak{T}_0(X')$. \* Cho một ví dụ trong đó $X'$ phân biệt với $X$ [xem bài tập 15 d)]. \*