Exercice 18, § 2

a) Soit E un espace compact, connexe, localement connexe et irréductible entre deux de ses points $a, b$ (II, p. 39, exerc. 19). Soit $x$ un point de E distinct de $a$ et de $b$. Montrer que $C\{x\}$ admet exactement deux composantes connexes et que $a$ et $b$ appartiennent à des composantes connexes différentes de $C\{x\}$. (En raisonnant comme dans l’exerc. 16, montrer d’abord que $C\{x\}$ ne peut admettre plus de deux composantes connexes. D’autre part, pour chaque voisinage connexe et fermé V de $x$, ne contenant ni $a$ ni $b$, soient $A_v$, $B_v$ les composantes connexes respectives de $a$ et $b$ dans $C_V$; montrer qu’elles sont distinctes en utilisant II, p. 39, exerc. 17; considérer enfin la réunion des $A_v$ (resp. des $B_v$) lorsque V parcourt l’ensemble des voisinages fermés connexes de $x$ dans E). En déduire qu’il existe sur E une structure d’ordre total telle que $\mathscr{T}_0(E)$ soit la topologie donnée sur E (IV, p. 49, exerc. 15 et 14 c)).

b) Soit E un espace compact connexe irréductible entre deux de ses points $a, b$. Montrer que si E contient plus d’un constituant premier (II, p. 40, exerc. 20), l’espace E’ des constituants premiers de E (loc. cit.) est irréductible entre les constituants premiers de $a$ et de $b$, et qu’il existe sur E’ une structure d’ordre total telle que la topologie de E’ soit identique à $\mathscr{T}_0(E')$. Donner un exemple où E’ est distinct de E (cf. IV, p. 49, exerc. 15 d)).