Bài tập 19, § 2

a) Cho $X$ là một không gian Hausdorff liên thông và $a, b$ là hai điểm phân biệt của $X$ sao cho không có tập con \emph{đóng} liên thông nào của $X$, ngoài chính $X$, chứa cả $a$ và $b$. Nếu $x$ là một điểm của $X$ khác $a$ hoặc $b$, thì $C\{x\}$ không liên thông khi và chỉ khi, với mỗi $y \in C\{x\}$, trong $C\{y\}$ có một tập con liên thông đóng trong $X$ và chứa $x$ cùng một trong hai điểm $a, b$. [Để chứng minh điều kiện là cần, sử dụng Bài tập 4 a) của chương I, § 11; để chứng minh điều kiện là đủ, cho $A$ (tương ứng $B$) là tập hợp tất cả các $y \in X$ sao cho có một tập con liên thông của $C\{y\}$ đóng trong $X$ và chứa $a$ và $x$ (tương ứng $b$ và $x$); chứng minh rằng $A$ và $B$ là khác rỗng và mở, rời nhau, và rằng $C\{x\} = A \cup B$.

b) Cho $X$ là một không gian compact liên thông bất khả quy giữa hai điểm $a, b$ của nó (chương II, § 4, Bài tập 19). Chứng minh rằng nếu với mỗi cặp điểm phân biệt $x, y$ của $X$ có một tập liên thông compact trong $X$ chứa $y$ và một trong hai điểm $a, b$ nhưng không chứa $x$, thì tồn tại một thứ tự tuyến tính trên $X$ sao cho $\mathfrak{T}_0(X)$ là tôpô đã cho trên $X$ (Bài tập 15 và 16).