Exercice 19, § 2

a) Soient E un espace connexe séparé, $a, b$ deux points distincts de E tels qu’il n’existe aucune partie fermée connexe de E, distincte de E et contenant $a$ et $b$. Pour qu’un point $x$ de

E, distinct de $a$ et de $b$, soit tel que $G\{x\}$ soit non connexe, il faut et il suffit que pour tout $y \in G\{x\}$, il existe dans $G\{y\}$ une partie connexe, fermée dans E, contenant $x$ et l’un des points $a,\ b$. (Pour voir que la condition est nécessaire, utiliser I, p. 114, exerc. 4 a). Pour voir que la condition est suffisante, soit A (resp. B) l’ensemble des $y \in E$ tels qu’il y ait une partie connexe de $G\{y\}$ fermée dans E, et contenant $a$ et $x$ (resp. $b$ et $x$); montrer que A et B sont ouverts non vides et sans point commun et que $G\{x\} = A \cup B.$

b) Soit E un espace compact connexe, irréductible entre deux de ses points $a,\ b$ (II, p. 39, exerc. 19). Montrer que si pour tout couple de points distincts $x,\ y$ de E il existe un ensemble compact connexe dans E, contenant $y$ et l’un des points $a,\ b$ mais ne contenant pas $x$, alors il existe sur E une structure d’ordre total telle que $\mathscr{T}_0(E)$ soit la topologie donnée sur E (exerc. 15 et 16).