Bài tập 8, § 2

Cho $X$ và $Y$ là hai tập hợp có thứ tự tuyến tính, được trang bị các tôpô $\mathfrak{T}_0(X)$ và $\mathfrak{T}_0(Y)$ tương ứng.

a) Giả sử $X$ liên thông và cho $f : X \to Y$ là một ánh xạ liên tục. Chứng minh rằng, với mọi $x, y$ trong $X$ sao cho $x < y$, mọi $z \in Y$ thuộc khoảng đóng có hai đầu mút là $f(x)$ và $f(y)$ đều thuộc $f(X)$ (sử dụng Bài tập 7). Suy ra rằng $f$ là một đồng phôi của $X$ lên $f(X)$ khi và chỉ khi $f$ liên tục và đơn điệu ngặt.

b) Cho một ví dụ về một đồng phôi của đường hữu tỉ $Q$ lên chính nó không phải là đơn điệu ngặt.