Exercice 8, § 2

Soient E et F deux ensembles totalement ordonnés, munis des topologies $\mathscr{T}_0(E)$ et $\mathscr{T}_0(F)$ (I, p. 91, exerc. 5).

a) On suppose E connexe. Soit f une application continue de E dans F. Montrer que, quels que soient x, y dans E tels que $x < y$, tout $z \in F$ appartenant à l’intervalle fermé d’extrémités $f(x)$ et $f(y)$ appartient à $f(E)$ (utiliser l’exerc. 7). En déduire que, pour que f soit un homéomorphisme de E sur $f(E)$, il faut et il suffit que f soit continue et strictement monotone.

b) Donner un exemple d’homéomorphisme de la droite rationnelle $\mathbf{Q}$ sur elle-même qui n’est pas strictement monotone.