Bài tập 5, § 4

Khi điểm $(x, y)$ tiến tới $(+\infty, -\infty)$ trong khi vẫn thuộc $\mathbf{R} \times \mathbf{R}$, hãy chứng minh rằng tập hợp các điểm tụ của hàm $x + y$ là $\overline{\mathbf{R}}$.

(*) Hãy sử dụng tính chất duy nhất, sai khác một đẳng cấu, của mở rộng đại số có thứ tự cực đại của một trường có thứ tự [B. L. van der Waerden, Moderne Algebra, vol. 1, 1st edition (Berlin, Springer, 1930) pp. 232-234].

Tương tự, khi $(x, y)$ tiến tới $(0, +\infty)$ trong khi vẫn thuộc $\mathbf{R} \times \mathbf{R}$, hãy chứng minh rằng tập hợp các điểm tụ của $xy$ là $\overline{\mathbf{R}}$.