Bài tập 2, § 5

a) Cho $f$ là một hàm nhận giá trị thực được xác định trên một tập hợp $X$, cho $A$ là một tập con không rỗng của $X$, và cho $\varphi$ là một hàm nhận giá trị thực tăng được xác định trên $f(A)$. Nếu $\varphi$ liên tục tại điểm $a = \sup_{x \in A} f(x)$, thì $\sup_{x \in A} \varphi(f(x)) = \varphi(\sup_{x \in A} f(x))$.

b) Cho $f$ là một hàm nhận giá trị thực được xác định trên một tập hợp $X$ được lọc bởi một bộ lọc $\mathfrak{F}$, và cho $\varphi$ là một hàm nhận giá trị thực được xác định trên một lân cận mở $V$ của tập hợp các điểm tụ của $f$ đối với $\mathfrak{F}$. Chứng minh rằng nếu $\varphi$ tăng và liên tục trên $V$, thì