Exercice 2, § 5

a) Soient $f$ une fonction numérique définie dans un ensemble E, A une partie non vide de E, $\varphi$ une fonction numérique croissante définie dans $\overline{f(A)}$. Si $\varphi$ est continue au point $a = \sup_{x \in A} f(x)$, on a $\sup_{x \in A} \varphi(f(x)) = \varphi(\sup_{x \in A} f(x))$. b) Soient $f$ une fonction numérique définie dans un ensemble E filtré par un filtre $\mathfrak{F}$, $\varphi$ une fonction numérique définie dans un voisinage ouvert V de l’ensemble des valeurs d’adhérence de $f$ suivant $\mathfrak{F}$. Montrer que si $\varphi$ est croissante et continue dans V, on a