Bài tập 3, § 6

a) Với mỗi khoảng $I \subset \mathbf{R}$, gọi $G(I)$ là nhóm gồm tất cả các phép đồng phôi của $I$ lên chính nó. Chứng minh rằng nếu $I$ và $J$ là hai khoảng bất kỳ của $\mathbf{R}$, mỗi khoảng chứa nhiều hơn một điểm, thì $G(I)$ và $G(J)$ là đẳng cấu. Trong $G(I)$, tập hợp $F(I)$ gồm các phép đồng phôi tăng là một nhóm con chuẩn có chỉ số 2.

b) Cho $G = G(\mathbf{R})$ và $F = F(\mathbf{R})$. Với mỗi $f \in G$ và mỗi $x \in \mathbf{R}$, gọi $\sigma(x; f)$ là $\operatorname{sgn}(f(x) - x)$. Gọi $T^+$ (tương ứng $T^-$) là tập hợp gồm tất cả các $f \in F$ sao cho $\sigma(x; f)$ là hằng và bằng 1 (tương ứng $-1$) trên $\mathbf{R}$. Chứng minh rằng mọi phần tử của $T^+$ (tương ứng $T^-$) là liên hợp trong $F$ với phép tịnh tiến $x \to x + 1$ (tương ứng $x \to x - 1$). [Nếu $f \in T^+$, xét dãy các điểm $f^n(o), n \in \mathbf{Z}$].

c) Cho $T = T^+ \cup T^-$. Chứng minh rằng mọi $f \in F$ không thuộc $T$ là tích trong $F$ của hai phần tử của $T_*$. [Viết $f = f_1 f_2$ trong $F$, trong đó $f_1(x) = \sup (x, f(x))$ và $f_2(x) = \inf (x, f(x))$; nếu $g$ là phép tịnh tiến $x \to x + 1$, thì $f_1 g$ và $g^{-1} f_2$ thuộc $T$].

d) Hai phần tử $f, g$ là liên hợp trong $F$ khi và chỉ khi tồn tại $s \in F$ sao cho $\sigma(x; f) = \sigma(s(x); g)$ với mọi $x \in \mathbf{R}$. [Xét các thành phần $I_n$ của tập hợp mở gồm mọi $x$ sao cho $\sigma(x; f) \neq 0$; nhận xét rằng $F(I_n)$ và $F$ là đẳng cấu (theo $a$) và sử dụng $b$]. Đặc biệt, nếu $[a, b]$ là một khoảng của $\mathbf{R}$ sao cho $\sigma(a; f) = \sigma(b; f) = 0$ với một số f \in F, thì phần tử $f'$ của $F$ trùng với $f$ đối với $x \leq a$ hoặc $x \geq b$ và sao cho $f'(x) = x + \varepsilon(f(x) - x)$ với $a < x < b$, trong đó $0 < \varepsilon < 1$, là liên hợp với $f$ trong $F$.

e) Cho $f \in F$ và cho $a, b, c, d$ là bốn số thực sao cho $a < c < b < d$ và $f(x) - x = 0$ với $x = a, x = b, x = c, x = d$, $\sigma(x; f) = 1$ với $a < x < c$ và $b < x < d$. Cho $a', b'$ là hai số sao cho $a \leq a' < c$ và $b < b' \leq d$; đặt $J = [a, b], J' = [a', b']$, và gọi $f_1$ là hạn chế của $f$ vào $J$; do đó $f_1 \in F(J)$. Chứng minh rằng tồn tại một đồng phôi tăng $s$ của $J$ lên $J'$ sao cho phần tử $f_2 = s f_1 s^{-1}$ của $F(J')$ có tính chất $f_2(x) > f^{-1}(x)$ với mọi $a' < x < b'$ [sử dụng $d$].

f) Cho $f \in F$ và cho $[a, b]$ là một khoảng của $\mathbf{R}$ sao cho $f(x) - x = 0$ với $x = a$ và $x = b$, $\sigma(x; f) = -1$ với $x < a$ và $\sigma(x; f) = +1$ với $x > b$. Chứng minh rằng tồn tại $g \in F$, liên hợp với $f$ trong $F$, sao cho $g(x) > f(x)$ với mọi $x \in \mathbf{R}$ (cùng phương pháp).

g) Gọi $H^+$ (tương ứng $H^-$) là nhóm con chuẩn của $F$ gồm tất cả các $f \in F$ sao cho $f(x) = x$ trong một lân cận của $+\infty$ (tương ứng $-\infty$). Chứng minh rằng $H^+, H^-$ và $H = H^+ \cap H^-$ là các nhóm con chuẩn duy nhất của $F$ khác với $F$ và $\{e\}$. [Nếu $N$ là một nhóm con chuẩn của $F$, khác với $F$, và nếu $f \in N$ không thuộc $H^+$, hãy chứng minh rằng có một phần tử $g \in N$ sao cho tập hợp tất cả các $x \in \mathbf{R}$ mà $\sigma(x; g) = +1$ là một khoảng $]a, +\infty]$, và ta có $g(x) = x$ với $x \leq a$. Để làm điều này hãy sử dụng các phép xây dựng của e) và f), cũng như b) và c). Để chứng minh rằng $N$ không chứa nhóm con nào, ngoài $H$ và $\{e\}$, là chuẩn trong $F$, hãy xét một phần tử $f \in H$ phân biệt với $e$; gọi $a$ và $b$ là cận dưới lớn nhất và cận trên nhỏ nhất (cả hai đều hữu hạn theo giả thiết) của tập hợp các $x \in \mathbf{R}$ sao cho $\sigma(x; f) \neq 0$. Khi đó hãy quan sát rằng $F([a, b])$ là đẳng cấu với $F$ và sử dụng kết quả trước đó].

h) Chứng minh rằng nhóm $H$ là đơn. (Cùng phương pháp như khi chứng minh rằng $H$ không chứa các nhóm con không tầm thường chuẩn trong $F$).