Bài tập 10, § 8

Cho $(d_n)$ là một dãy cơ sở, $a_n = d_n/d_{n-1}$ ($n \geq 1$), $(n_i)$ là một dãy tăng ngặt các số nguyên, $(b_i)$ là một dãy các số nguyên sao cho $0 < b_i < a_{n_i} - 1$ với mọi $i$. Gọi $G$ là tập hợp các $x \in (0, 1)$ sao cho đối với khai triển $\sum_{n=1}^\infty u_n/d_n$ của $x$, hoặc khai triển không chính quy của $x$ khi có, ta có $u_{n_i} \neq b_i$ với mọi $i \in \mathbf{N}$. Bây giờ chứng minh rằng $G$ là một tập hoàn hảo hoàn toàn gián đoạn, và rằng nếu $l$ là tổng độ dài của các khoảng tiếp giáp với $G$, được chứa trong $(0, 1)$, thì ta có $1 - l = \prod_{i=0}^\infty \left(1 - \frac{1}{a_{n_i}}\right)$.