Exercice 10, § 8

Soient $(d_n)$ une suite de base, $a_n = d_n/d_{n-1}$ ($n \geq 1$), $(n_i)$ une suite d’entiers strictement croissante, $(b_i)$ une suite d’entiers telle que $0 < b_i < a_{n_i} - 1$ pour tout $i$. Soit $G$ l’ensemble des $x \in (0, 1)$ tels que pour le développement $\sum_{n=1}^\infty u_n/d_n$ de $x$, ou le développement impropre de $x$ lorsqu’il en existe un, on ait $u_{n_i} \neq b_i$ pour tout $i \in \mathbf{N}$. Montrer que $G$ est un ensemble parfait totalement discontinu, et que si $l$ est la somme des longueurs des intervalles contigus à $G$, contenus dans $(0, 1)$, on a $1 - l = \prod_{i=0}^\infty \left(1 - \frac{1}{a_{n_i}}\right)$.