Bài tập 9, § 8

Chứng minh rằng tập hợp tam phân của Cantor $K$ (IV, p. 9) trùng với tập hợp các số thực $x \in (0, 1)$, mà khai triển theo cơ số 3 (tương ứng khai triển không chính quy theo cơ số 3 nếu $x$ là đầu mút của một khoảng kề với $K$) $x = \sum_{n=1}^\infty u_n 3^{-n}$ có tính chất là $u_n \neq 1$ với mọi $n$ (do đó $u_n = 0$ hoặc $u_n = 2$). Nếu khi đó đặt $v_n = u_n/2$ với mọi $n$, và $f(x) = \sum_{n=1}^\infty v_n 2^{-n}$, chứng minh rằng $f$ là một ánh xạ toàn ánh liên tục từ $K$ lên $(0, 1)$; suy ra rằng $K$ có lũy thừa của continuum.