Exercice 9, § 8

Montrer que l’ensemble triadique de Cantor $K$ (IV, p. 9) est identique à l’ensemble des nombres réels $x \in (0, 1)$, dont le développement de base 3 (resp. le développement impropre de base 3 si $x$ est origine d’un intervalle contigu à $K$) $x = \sum_{n=1}^\infty u_n 3^{-n}$ est tel que $u_n \neq 1$ pour tout $n$ (donc $u_n = 0$ ou $u_n = 2$). Si on pose alors $v_n = u_n/2$ pour tout $n$, et $f(x) = \sum_{n=1}^\infty v_n 2^{-n}$, montrer que $f$ est une application continue surjective de $K$ dans $(0, 1)$; en déduire que $K$ a la puissance du continu.