Bài tập 2, Phụ lục 0

Trong một tập hợp có thứ tự tuyến tính $I$, ta sẽ nói rằng một tập con không rỗng $J$ là một lát cắt của $I$ nếu, bất cứ khi nào $\alpha$ và $\beta$ là các phần tử của $J$ sao cho $\alpha < \beta$, thì $[\alpha, \beta] \subset J$.

a) Cho $(x_i)_{i \in J}$ là một họ nhân được trong một nhóm đầy đủ $G$. Chứng minh rằng, với mọi lát cắt $J$ của $I$, họ $(x_i)_{i \in J}$ là nhân được (trước hết xét trường hợp đặc biệt trong đó tập hợp các chặn dưới của $J$ không thuộc $J$ là rỗng).

b) Một phân hoạch $(J_\lambda)_{\lambda \in L}$ của $I$ được gọi là một phân hoạch có thứ tự nếu $L$ là một tập hợp có thứ tự tuyến tính và nếu các quan hệ $\lambda < \mu, \alpha \in J_\lambda, \beta \in J_\mu$ kéo theo $\alpha < \beta$; khi đó các $J_\lambda$ là các lát cắt của $I$. Nếu $(x_i)_{i \in I}$ là một họ nhân được trong một nhóm đầy đủ $G$, chứng minh rằng nếu đặt $p_\lambda = \prod_{i \in J_\lambda} x_i$, thì họ $(P_\lambda)_{\lambda \in L}$ là nhân được và có cùng tích với họ $(x_i)_{i \in I}$.

c) Ngược lại, nếu $(J_\lambda)_{\lambda \in L}$ là một phân hoạch có thứ tự hữu hạn của $I$, và nếu $(x_i)_{i \in I}$ là sao cho mỗi họ $(x_i)_{i \in J_\lambda}$ đều nhân được, thì họ $(x_i)_{i \in I}$ là nhân được.