Bài tập 3, Phụ lục 0

Cho $G$ là một nhóm tôpô Hausdorff có một lân cận $V_0$ của phần tử đơn vị $e$ trên đó $x \to x^{-1}$ là liên tục đều (với tư cách là một ánh xạ $G_d \to G_d$: xem Chương III, § 3, các Bài tập 7 và 8). Cho $(x_i)_{i\in I}$ là một họ các điểm của $G$ khả tích; hãy chứng minh rằng, với mỗi lân cận $U$ của $e$, tồn tại một tập con hữu hạn $J_0$ của $I$ sao cho, với mọi tập con hữu hạn $K$ của $I$ được chứa trong một lát cắt của $I$ không gặp $J_0$, ta có $p_k \in U$. [Trước hết hãy chứng minh rằng tồn tại một tập con hữu hạn $H_0$ của $I$ và một số hữu hạn điểm $a_1, a_2, \ldots, a_q$ của $G$ sao cho, với mọi tập con hữu hạn $L$ của $I$ được chứa trong một lát cắt của $I$ không gặp $H_0$, ta có $p_L \in a_k V'_0 a_k^{-1}$ với ít nhất một chỉ số $k$, trong đó $V'_0$ là một lân cận của $e$ sao cho $V'_0 V'_0 \subset V_0$. Do đó ta có thể hạn chế vào việc xét các tập con hữu hạn được chứa trong một trong các khoảng mở mà các đầu mút là hai chỉ số liên tiếp của $H_0$; sử dụng lập luận của Bài tập 2 a) và tính liên tục đều của $x^{-1}$ trên mỗi lân cận $a_k V_0 a_k^{-1}$.]

Suy ra rằng với cùng các điều kiện đó ta có $\lim x_i = e$ đối với lọc các phần bù của các tập con hữu hạn của $I$ (nếu $I$ là vô hạn).