Bài tập 6, Phụ lục 0

Cho $A$ là đại số (trên $\mathbf{R}$) của các hàm nhận giá trị thực bị chặn xác định trên khoảng $X = [1, +\infty[$ của $\mathbf{R}$, với chuẩn $\|f\| = \sup_{x \in X} |f(x)|$. Với mỗi số nguyên $n > 0$, cho $u_n$ là hàm bằng $1/n$ khi $n \leq x \leq n+1$ và bằng $0$ ở mọi nơi khác. Chứng minh rằng họ $(1 + u_n)$ là nhân được trong $A$ nhưng chuỗi có số hạng tổng quát là $u_n$ không khả tổng tuyệt đối trong $A$.