Bài tập 8, Phụ lục 0

Cho $A$ là một đại số chuẩn đầy đủ. Chứng minh rằng nếu $(x_n)$ là một dãy các điểm của $A$ sao cho, với mọi phép hoán vị $\sigma$ của $\mathbf{N}$, dãy $(x_{\sigma(n)})$ nhân được và tích của nó là một phần tử khả nghịch, thì mỗi $x_n$ là một phần tử khả nghịch. (Trước hết hãy thiết lập bổ đề đại số sau: trong một vành có phần tử đơn vị, nếu hai phần tử $x, y$ sao cho $xy$ là một phần tử khả nghịch và $yx$ không là một ước của không, thì $x$ và $y$ đều là những phần tử khả nghịch.)

BIỂU ĐỒ CÁC LOẠI CHÍNH CỦA KHÔNG GIAN TÔPÔ

• không gian compact mêtric hóa được $\to$ không gian compact địa phương với cơ sở đếm được
• không gian compact mêtric hóa được $\to$ không gian compact
• không gian compact địa phương với cơ sở đếm được $\to$ không gian polish
• không gian compact địa phương với cơ sở đếm được $\to$ không gian mêtric hóa được, compact địa phương
• không gian compact địa phương với cơ sở đếm được $\to$ không gian compact địa phương, $\sigma$-compact
• không gian polish $\to$ không gian lusin
• không gian lusin $\to$ không gian souslin
• không gian souslin $\to$ không gian mêtric hóa được
• không gian mêtric hóa được, compact địa phương $\to$ không gian mêtric hóa được
• không gian mêtric hóa được, compact địa phương $\to$ không gian compact địa phương
• không gian compact $\to$ không gian compact địa phương, $\sigma$-compact
• không gian compact địa phương, $\sigma$-compact $\to$ không gian paracompact
• không gian compact địa phương, $\sigma$-compact $\to$ không gian compact địa phương
• không gian mêtric hóa được $\to$ không gian paracompact
• không gian paracompact $\to$ không gian chuẩn
• không gian chuẩn $\to$ không gian hoàn toàn chính quy
• không gian compact địa phương $\to$ không gian hoàn toàn chính quy
• không gian hoàn toàn chính quy $\to$ không gian chính quy
• không gian chính quy $\to$ Hausdorff