Bài tập 9, § 1

(a) Cho $X$ là một không gian tôpô, cho $\mathscr{T}$ là tôpô của nó và cho $(f_i)_{i \in I}$ là một họ các ánh xạ từ $X$ vào $K = [0, 1]$ liên tục trong tôpô $\mathscr{T}$. Cho $\mathscr{T}_0$ là tôpô thô nhất trên $X$ sao cho tất cả các $f_i$ đều liên tục. Chứng minh rằng $\mathscr{T}_0 = \mathscr{T}$ với điều kiện họ các tập hợp $\overline{f_i}([0, a[)$, trong đó $i \in I$ và $a \in ]0, 1[$, là một tiền cơ sở của $\mathscr{T}$ (Chương I, § 2, no. 3). Khi đó không gian $X$ là khả tôpô đều, và nếu nó là Hausdorff thì nó đồng phôi với một không gian con của khối lập phương $K^I$.

(b) Giả sử rằng họ $(f_i)$ là họ tất cả các ánh xạ liên tục từ $X$ vào $K$ (đối với $\mathscr{T}$). Chứng minh rằng, nếu $Y$ là một không gian compact bất kỳ, thì mọi ánh xạ từ $X$ vào $Y$ liên tục đối với $\mathscr{T}$ cũng liên tục đối với $\mathscr{T}_0$ (nhúng $Y$ vào một khối lập phương). Tôpô $\mathscr{T}$ là khả tôpô đều khi và chỉ khi $\mathscr{T}_0 = \mathscr{T}$.