Bài tập 16, § 2

Cho $X$ và $Y$ là hai không gian compact đếm được. Chứng minh rằng tích $X \times Y$ là compact đếm được trong mỗi trường hợp sau đây: (i) một trong hai không gian $X, Y$ là compact; (ii) một trong hai không gian $X, Y$ có tính chất là mỗi điểm có một hệ cơ sở lân cận đếm được. [Trong trường hợp (i), giả sử $Y$ là compact, xét một dãy tăng $(G_n)$ các tập hợp mở có hợp là $X \times Y$; với mỗi $n$, gọi $H_n$ là tập hợp tất cả các $x \in X$ sao cho $\{ x \} \times Y \subset G_n$; chứng minh rằng $H_n$ là mở và rằng $X = \bigcup_n H_n$.]