Exercice 16, § 2

Soit $X = \beta \mathbf{N}$ le compactifié Stone-Čech de l’espace discret $\mathbf{N}$ (IX, p. 10).

a) Montrer qu’il existe deux sous-espaces semi-compacts A, B de X tels que $A \cap B = \mathbf{N}$ et $A \cup B = X$. (Soit $\aleph_\alpha = 2^{2^{\text{Card}(\mathbf{N})}}$; en vertu de l’exerc. 18 de IX, p. 88, il existe une bijection $\xi \mapsto S_\xi$ de l’ordinal $\omega_\alpha$ (E, III, p. 87, exerc. 10) sur l’ensemble des parties infinies dénombrables de X. Définir par induction transfinie deux applications injectives $\xi \mapsto x_\xi, \xi \mapsto y_\xi$ de $\omega_\alpha$ dans $X - \mathbf{N}$ de sorte que l’on ait $x_\xi \in \bar{S}_\xi, y_\xi \in \bar{S}_\xi$ pour tout $\xi$ et que, si P (resp. Q) est l’ensemble des $x_\xi$ (resp. $y_\xi$), on ait $P \cap Q = \varnothing, P \cup Q = X - \mathbf{N}$; on utilisera pour cela IX, p. 88, exerc. 18. Montrer alors que $A = P \cup \mathbf{N}, B = Q \cup \mathbf{N}$ répondent à la question).

b) Montrer que l’espace produit $A \times B$ n’est pas weierstrassien (remarquer que l’intersection de $A \times B$ et de la diagonale de $X \times X$ est un sous-espace infini, discret ouvert et fermé dans $A \times B$).