Bài tập 19, § 2

Trong một không gian metric, mọi tập tương đối compact đều bị chặn. Nếu $X$ là một không gian tôpô, hãy chỉ ra rằng các điều kiện sau đây trên $X$ là tương đương: $\alpha$ tồn tại một metric trên $X$, tương thích với tôpô của nó, sao cho mọi tập con bị chặn của $X$ (đối với metric này) đều tương đối compact; $\beta$ $X$ là địa phương compact và có một cơ sở đếm được. [Để chỉ ra rằng $\alpha) \Longrightarrow \beta$), hãy chỉ ra rằng nếu mọi tập bị chặn đều tương đối compact, thì $X$ là địa phương compact và $\sigma$-compact. Để chỉ ra rằng $\beta) \Longrightarrow \alpha$), hãy chú ý rằng $X$ là mêtric hóa được theo hệ quả của Mệnh đề 12; nếu $d$ là một metric trên $X$ tương thích với tôpô của $X$, và nếu $f$ là hàm được định nghĩa trong § 1, Bài tập 15 d), hãy lấy tính đồng nhất trên $X$ được xác định bởi hai giả metric $d(x, y)$ và $|f(x) - f(y)|$.]