Exercice 19, § 2

a) Soit X un espace topologique; on suppose qu’il existe un recouvrement dénombrable $(U_n)$ de X par des ouverts tels que la topologie induite sur chaque $\overline{U}_n$ soit une topologie d’espace métrisable et de type dénombrable. Montrer alors que X est métrisable et de type dénombrable (définir une famille dénombrable de fonctions numériques continues dans X et séparant les points de X).

b) Dans le compactifié de Stone-Čech $\beta \mathbf{N}$ de l’espace discret $\mathbf{N}$, soit X le sous-espace réunion de $\mathbf{N}$ et d’un ensemble $\{\omega\}$ réduit à un seul point de $\beta \mathbf{N} - \mathbf{N}$. Montrer que X est un espace non métrisable, paracompact et semi-compact, alors que chacun des deux sous-espaces complémentaires $\mathbf{N}$ et $X - \mathbf{N}$ est métrisable et de type dénombrable (cf. IX, p. 110, exerc. 34 c)).