Bài tập 22, § 2

Cho $X$ là một không gian tôpô Hausdorff có một cơ sở đếm được $(U_n)$, và cho $R$ là một quan hệ tương đương Hausdorff trên $X$ sao cho mọi điểm của $X/R$ có một hệ lân cận cơ bản đếm được. Chứng minh rằng tôpô của $X/R$ có một cơ sở đếm được. [Cho $\varphi : X \to X/R$ là ánh xạ chính tắc, và chứng minh rằng các phần trong của các hợp hữu hạn của các tập hợp $\varphi(U_n)$ tạo thành một cơ sở của tôpô của $X/R$: nếu $V$ là một lân cận của một điểm $z \in X/R$, và $(W_k)$ là một dãy các tập hợp thuộc cơ sở $(U_n)$, được chứa trong $\overline{\varphi^{-1}(V)}$ và phủ $\overline{\varphi^{-1}(z)}$, chứng minh rằng có một số hữu hạn chỉ số $k$ sao cho hợp của các $\overline{\varphi^{-1}(W_k)}$ là một lân cận của $z$. Lập luận bằng phản chứng: nếu mệnh đề này sai thì ta có thể xây dựng một dãy $(\gamma_n)$ các điểm phân biệt của $X/R$, hội tụ tới $z$ và sao cho $\gamma_n$ không thuộc hợp của các $\varphi(W_k)$ với $k \leq n$; khi đó chứng minh rằng hợp của các $\overline{\varphi^{-1}(\gamma_n)}$ là đóng trong $X$.]

Chứng minh rằng cùng một kết luận vẫn đúng nếu giả sử $R$ là đóng và mỗi lớp tương đương mod $R$ là compact (phương pháp tương tự).