Exercice 22, § 2

Soit X un ensemble totalement ordonné muni de la topologie $\mathscr{T}_0(X)$ (I, p. 91, exerc. 5); on suppose que X est compact, sans trou (IV, p. 48, exerc. 7) et qu’il existe dans X une partie dénombrable partout dense. Montrer que X est métrisable (on pourra utiliser l’exerc. 12 f) de IX, p. 93).

Le résultat est-il encore exact lorsque l’on ne suppose plus que X est sans trou (cf. IV, p. 48, exerc. 11c))?