Bài tập 6, § 2

Cho $X$ là một không gian mêtric. Nếu $A$ và $B$ là hai tập con không rỗng của $X$, đặt

cũng đặt $\sigma(\emptyset, \emptyset) = 0, \sigma(\emptyset, A) = \sigma(A, \emptyset) = +\infty$ với mọi tập con không rỗng $A$ của $X$. Chứng minh rằng $\sigma$ là một giả mêtric trên tập hợp $\mathfrak{P}(X)$ gồm tất cả các tập con của $X$, và rằng cấu trúc đều được xác định bởi $\sigma$ trùng với cấu trúc đều được xây dựng từ cấu trúc đều của $X$ theo thủ tục của Chương II, § 1, Bài tập 5.

Giả sử $X$ là bị chặn. Khi đó $\sigma$ là một mêtric trên tập hợp $\mathfrak{F}(X)$ gồm các tập con đóng không rỗng của $X$. Nếu hơn nữa $X$ là đầy đủ, chứng minh rằng $\mathfrak{F}(X)$ là một không gian mêtric đầy đủ [gọi $\Phi$ là một lọc Cauchy trên $\mathfrak{F}(X)$; với mỗi tập hợp $\mathscr{X} \in \Phi$, gọi $S(\mathscr{X})$ là hợp của các tập con $A$ của $X$ thuộc về $\mathscr{X}$; chứng minh rằng các tập hợp $S(\mathscr{X})$ tạo thành một cơ sở lọc trên $X$ khi $\mathscr{X}$ chạy qua $\Phi$, rằng cơ sở lọc này có một tập hợp không rỗng $C$ các điểm tụ, và rằng $\Phi$ hội tụ đến $C$].