Exercice 6, § 2

Soit $X$ un espace métrique; si $A$ et $B$ sont deux parties non vides de $X$, on pose

on pose en outre $\sigma(\varnothing, \varnothing) = 0,\ \sigma(\varnothing, A) = \sigma(A, \varnothing) = +\infty$ pour toute partie non vide $A$ de $X$. Montrer que, sur l’ensemble $\mathfrak{P}(X)$ des parties de $X$, $\sigma$ est un écart, et que la structure uniforme qu’il définit est identique à la structure uniforme déduite de celle de $X$ par le procédé de II, p. 34, exerc. 5.

On suppose $X$ borné. Sur l’ensemble $\mathfrak{F}(X)$ des parties fermées non vides de $X$, $\sigma$ est une distance. Si $X$ est en outre complet, montrer que $\mathfrak{F}(X)$ est un espace métrique complet (soit $\Phi$ un filtre de Cauchy sur $\mathfrak{F}(X)$; pour tout ensemble $\mathfrak{X} \in \Phi$, soit $S(\mathfrak{X})$ la réunion des parties $X$ de $X$ appartenant à $\mathfrak{X}$; montrer que les ensembles $S(\mathfrak{X})$ forment une base de filtre sur $X$, que cette base de filtre a une adhérence $A$ non vide, et que $\Phi$ converge vers $A$).