Bài tập 9, § 2

Cho $X$ là một không gian tôpô, mỗi điểm của nó đều có một hệ cơ bản đếm được các lân cận.

a) $X$ là Hausdorff với điều kiện rằng mọi dãy hội tụ trong $X$ chỉ có một giới hạn.

b) Nếu $a$ là một điểm tụ của một dãy vô hạn $(x_n)$ các điểm của $X$, thì có một dãy con vô hạn của $(x_n)$ hội tụ đến $a$.

c) Cho $A$ là một tập con không rỗng của $X$, cho $x_0$ là một điểm của $\overline{A}$, và cho $f$ là một ánh xạ từ $A$ vào một không gian tôpô Hausdorff $X'$. Khi đó một điểm $a \in X'$ là một giới hạn của $f$ tại điểm $x_0$, tương đối với $A$, với điều kiện rằng, đối với mọi dãy $(x_n)$ các điểm của $A$ hội tụ đến $x_0$, dãy $(f(x_n))$ hội tụ đến $a$.

d) Với ký hiệu của $c_j$, giả sử thêm rằng mọi điểm của $X'$ đều có một hệ cơ bản đếm được các lân cận. Nếu $a \in X'$ là một điểm tụ của $f$ tại $x_0$ tương đối với $A$, thì có một dãy $(x_n)$ các điểm của $A$ hội tụ đến $x_0$ và sao cho dãy $(f(x_n))$ hội tụ đến $a$.