Bài tập 22, § 5

a) Cho $X$ là một không gian Baire, $Y$ là một không gian metric, $(f_n)$ là một dãy các ánh xạ liên tục của $X$ vào $Y$ sao cho, với mỗi $x \in X$, dãy $(f_n(x))$ có một giới hạn $f(x)$ trong $Y$. Khi đó tập hợp tất cả các điểm $x \in X$ tại đó $f$ không liên tục là thưa. [Chứng minh rằng, với mỗi số nguyên $n > 0$, tập hợp tất cả các điểm $x \in X$ tại đó dao động $\omega(x; f)$ của $f$ là $\leq 1/n$ chứa một tập hợp mở trù mật; để làm điều này, nếu $G_p$ ký hiệu tập hợp các $x \in X$ mà khoảng cách từ $f_p(x)$ đến $f_q(x)$ là $\leq 1/2n$ với mọi $q \geq p$, hãy chỉ ra rằng hợp của các phần trong của các tập hợp $G_p$ là một tập hợp mở trù mật.]

b) Cho $K$ là khoảng compact $[0, 1]$ trong $\mathbf{R}$. Hãy cho một ví dụ về một dãy các ánh xạ liên tục $f_n$ của $K$ vào không gian compact $K^K$ sao cho $\lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x)$ tồn tại với mỗi $x \in K$, nhưng sao cho $f$ không liên tục tại bất kỳ điểm nào của $K$.