Exercice 22, § 5

Soient X, Y deux espaces topologiques. On dit qu’une application f de X dans Y est approchable si pour toute partie fermée S de Y, f(S) est un ensemble approchable (IX, p. 112, exerc. 6).

a) Soit g une application de X dans Y pour laquelle il existe un ensemble maigre M dans X tel que la restriction de g à C M soit continue; montrer que g est approchable. Réciproque lorsque la topologie de Y admet une base dénombrable.

b) On suppose Y métrisable. Soit (f_n) une suite d’applications approchables de X dans Y telle que $\lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x)$ existe pour tout x ∈ X. Montrer que f est approchable.