Bài tập 24, § 5

Cho $X,\ Y$ là hai không gian tôpô. Một ánh xạ $f : X \to Y$ được gọi là gần mở nếu, với mọi tập con đóng $S$ của $Y$, $\overline{f^{-1}(S)}$ là gần mở trong $X$ (Bài tập 6).

a) Cho $g : X \to Y$ là một ánh xạ có tính chất rằng tồn tại một tập không đâu trù mật $M$ trong $X$ sao cho $g|_M$ là liên tục. Chứng minh rằng $g$ là gần mở. Xét đảo lại, khi tôpô của $Y$ có một cơ sở đếm được.

b) Giả sử rằng $Y$ là hoàn toàn chuẩn tắc ($\S$ 4, Bài tập 8). Cho $(f_n)$ là một dãy các ánh xạ gần mở từ $X$ vào $Y$ sao cho

tồn tại với mỗi $x \in X$. Chứng minh rằng $f$ là gần mở [lập luận như trong Bài tập 21 a)].