Exercice 24, § 5

Soit X un espace topologique. On dit qu’une application f de X dans un espace topologique Y est presque continue en un point x_0 ∈ X si, quel que soit le voisinage ouvert V de f(x_0) dans Y, le point x_0 est intérieur à l’ensemble D(f(V)) (IX, p. 111, exerc. 3).

a) Soit f une application arbitraire de X dans un espace Y ayant une base dénombrable. Montrer que l’ensemble des points de X où f est presque continue est le complémentaire d’un ensemble maigre. Si (V_n) est une base de la topologie de Y, appliquer IX, p. 111, exerc. 3 d) à chacun des ensembles $f^{-1}(V_n)$.

b) On suppose en outre que X et Y sont des espaces métriques et que D(X) = X (IX, p. 111, exerc. 3). Pour tout $\varepsilon > 0$, montrer qu’il existe une famille $\mathscr{M}_\varepsilon$ de boules ouvertes $U_\alpha$ de centre $x_\alpha$ et de rayon $< \varepsilon$, deux à deux disjointes, dont la réunion est dense dans $X$, et pour chaque $\alpha$ un ensemble $V_\alpha \subset U_\alpha$ tel que $x_\alpha \in V_\alpha$, $D(V_\alpha) = U_\alpha$, et $d'(f(x), f(x_\alpha)) \leq \varepsilon$ pour tout $x \in V_\alpha$ ($d'$ distance dans $Y$). (Utiliser $a$) et le th. de Zorn.)

c) Déduire de $b$) qu’il existe dans $X$ une partie dense $D$ telle que la restriction de $f$ à $D$ soit continue dans $D$. (Partir de $\mathscr{M}_\varepsilon$ pour $\varepsilon = 1$, puis répéter la construction de $\mathscr{M}_\varepsilon$ dans chaque $U_\alpha$ pour $\varepsilon = \frac{1}{2}$, et continuer indéfiniment.)